01 / 機率界限
公式限制遠離平均的比例
若隨機變數平均為 μ、標準差為 σ，切比雪夫不等式指出，結果距離平均至少 k 個標準差的機率不超過 1/k²，其中 k 大於一。
等價地說，落在 μ 加減 kσ 範圍內的機率至少為 1−1/k²。它給的是保證下限或上限，不是精確機率。
公式只要求平均與有限變異數存在，不必先假設常態分布，所以能用於偏斜、雙峰或形狀未知的資料。
02 / 機率界限
兩個標準差例子得到至少四分之三
取 k=2，距平均至少兩個標準差的比例不超過四分之一，因此平均正負兩個標準差內至少包含四分之三結果。
假設平均是 50、標準差是 10，區間便是 30 至 70。定理只能保證至少 75% 在區間內，不能斷言恰好 75%。
若資料剛好接近常態分布，實際區間比例通常比這個保守下限更高；但那需要額外分布資訊，不是切比雪夫本身提供。
03 / 機率界限
三個標準差時界限更寬但保證更高
取 k=3，區間內比例至少是 1−1/9，不是八分之八，而是八分之九，約 88.9%。計算時應保留分母九，避免口算誤寫。
以同一平均 50、標準差 10 為例，區間擴大到 20 至 80。範圍較寬，最低涵蓋比例也提高。
這反映風險界限的交換：要求更高保證，通常需要接受更寬範圍。不能同時要求極窄區間與接近百分百涵蓋而沒有更多假設。
不等式不告訴結果在區間內如何分布，也不能指出下一次靠近平均還是靠近邊界。
取 k=4 時，區間外上限降至十六分之一，區間內至少十五分之十六。代入不同 k 值能看見界限按平方速度改變，而非線性改變。
04 / 機率界限
標準差必須來自合適資料
若平均與標準差用很小或有偏樣本估計，算出的界限仍受資料品質限制。公式正確不等於輸入可靠。
不同期間、規則或單位的資料不應直接混合。把港元與點數放在同一欄計算標準差，所得數字沒有清晰尺度意義。
886 的發發諧音屬文化聯想，不會縮小 σ 或提升區間保證。統計界限只能來自模型條件與資料。
05 / 機率界限
保守界限不是安全承諾
即使尾部比例上限看似小，極端結果仍可能發生；不等式也未描述極端結果的金額大小。風險管理要同時看頻率與後果。
娛樂情境不可把『多數在範圍內』解讀成個人損失受保證。應先設定可承受的港元與時間上限，到點停止。
本文僅供知識分享，請理性看待；娛樂為主，量力而為。本站不接受投注、不提供註冊或博彩平台連結，公式僅作進階機率教育。
實作時可先用完整資料計算平均與標準差，再直接數出區間內比例，將觀察值與理論最低保證並列。實際比例較高不代表公式錯誤。