01 / 等待時間
幾何分布需要固定且獨立的試驗
若每次事件成功機率固定為 p，各次彼此獨立，從第一次開始數到首次成功的次數可用幾何分布描述。第一下成功機率是 p，第二下首次成功要先失敗一次再成功，機率為一減 p 乘 p。
第三下首次成功則需要前兩次失敗、第三次成功，因此是一減 p 的平方乘 p。等待越長，路徑包含更多連續失敗，但只要 p 大於零，仍有一條逐漸變薄的右尾。
若抽牌不放回、機率隨狀態改變，或系統在不同階段更換規則，就不符合簡單幾何分布。套公式前要先驗證固定機率與獨立假設。
02 / 等待時間
平均等待是倒數但不是期限
幾何分布的理論平均等待次數為一除以 p。若 p 是百分之二，平均約五十次；這個五十由所有可能等待時間加權，不表示第五星期、第五十次或任何指定位置必定成功。
分布右偏時，少數很長等待會拉高平均，所以中位等待可能與平均不同。只報平均會隱藏多數人典型位置及尾部風險，進階閱讀應同時查看分位數。
平均等待越長，累計參與成本通常越值得注意。數學上的一除以 p 不是建議次數，不能把五十次當成應完成的任務；每增加一次都可能增加損失。
03 / 等待時間
無記憶性不會補償久等的人
在獨立固定 p 模型中，已連續失敗多少次，不會改變下一次成功機率。這稱無記憶性：從現在往後的等待分布與一開始相同，系統不會因某人久等而提高 p。
人容易把平均等待當成欠帳，認為超過平均後下一次更接近成功。其實超過平均只描述一條已發生的長路徑；下一步仍按原機率，過去成本亦不會由未來事件自動歸還。
無記憶性也不代表長等待不可能。幾何分布正包含任意長的失敗序列，只是機率逐步下降。看到極端等待不能立即判定系統失效，要與模型、樣本與審核資料一起分析。
要計算等待超過某個次數，可用前若干次全部失敗的機率。這個尾部比例適合風險說明，卻不能用來替某一位使用者安排成功日期。
04 / 等待時間
等待時間應轉成停止工具
可把模型轉成風險表：單次成本、最多次數、最長分鐘及尾部仍未成功的可能性。次數或時間任一到達便停止，不因平均尚未實現而追加。
886 的發發諧音可令某些次數更有吸引力，卻不會縮短幾何分布右尾。第八、八十八或八百八十六次都只是序號，下一次 p 不因文化寓意改變。
本文只提供機率與風險教育，不提供追逐結果的方法。若等待令你忽略時間、生活費或產生追損念頭，應立即離開並尋求支援；平均等待不是承諾。
事前停止規則應寫成具體鐘點與港元數字，不能只寫『再等一會』。
05 / 等待時間
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